Question

已知动点P到直线y=1的距离比它到点F（0，

1

4

）的距离大

3

4

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上不存在两点关于直线l：y=m（x-3）对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）转化题中的条件，应用抛物线的定义求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）假设点P的轨迹上点A，B关于直线l对称，利用中点在对称轴上及斜率间的关系和判别式大于0，得到实数m的取值范围，再把此范围在实数集内取补集．

解答：解：：（Ⅰ）据题意可知，点P到直线y=-

1

4

的距离等于它到点F（0，

1

4

）的距离，
所以点P的轨迹是以点F（0，

1

4

）为交点，直
线y=-

1

4

为准线的抛物线．（3分）
因为p=

1

2

，抛物线开口向上，故
点P的轨迹方程是x²=y．
（Ⅱ）若m=0，则直线l为x轴，
此时抛物线x²=y与直线l相切．
若m≠0，设与直线l垂直的直线为l′：y=-

1

m

x+b，
代入y=x²，得x²+

1

m

x-b=0（*）
设直线l′与抛物线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁=x₂=-

1

m

，
从而y₁+y₂=-

1

m

（x₁+x₂）+2b=

1

m2

+2b．
假设点A，B关于直线l对称，
则AB的中点（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在l上，
所以

1

2m2

+b=m（

-1

2m

-3），
即b=-

1

2

-3m-

1

2m2

．
由于方程（*）有两个不相等的实根，则△=(

1

m

)2+4b＞0．
所以(

1

m

)2+4（-

1

2

-3m-

1

2m2

）＞0，
整理得12m³+2m²+1＜0，
即（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．
由6m²-2m+1=6(m-

1

6

)2+

5

6

＞0恒成立，
所以2m+1＜0，
即m＜-

1

2

．
所以当m＜-

1

2

时，抛物线上存在两点关于直线l对称．
故当抛物线y=x²上不存在两点关于直线l：y=m（x-3）对称时，
实数m的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查用定义法求轨迹方程，直线与抛物线的位置关系综合应用，体现转化的数学思想．