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设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是
[-
1
3
1
3
]
[-
1
3
1
3
]
分析:根据所给的含有绝对值的不等式,设出所给的两个变量之间的关系,对所给的绝对值不等式进行整理,得到最简形式,根据函数的思想f(x)>m恒成立,只要m<f(x)的最小值.
解答:解:取k∈R,令x=
1
2
ka
,则原不等式为|ka-a|+|
3
2
ka-2a|≥|a|2,即|a||k-1|+
3
2
|a||k-
4
3
|≥|a|2
由此易知原不等式等价于|a|≤|k-1|+
3
2
|k-
4
3
|
,对任意的k∈R成立.
由于|k-1|+
3
2
|k-
4
3
|=
5
2
k-3,k≥
4
3
1-
1
2
k,1≤k<
4
3
3-
5
2
k,k<1

∵y=
5
2
k-3
,在k
4
3
时,y
1
3

y=1-
1
2
k,在1≤k<
4
3
时,
1
3
≤y<
1
2

y=3-
5
2
k
,k<1时,y>
1
2

所以|k-1|+
3
2
|k-
4
3
|的最小值等于
1
3

从而上述不等式等价于|a|≤
1
3

故答案为:[-
1
3
1
3
]
点评:本题考查函数的恒成立问题,考查含有绝对值的不等式的整理,考查函数的综合题目中常用的解题思想,f(x)>m恒成立,只要m<f(x)的最小值,本题解题的关键是求出函数的最小值,本题是一个难题.
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