Question

(本小题满分13分)已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即      由得                                       

矩形ABCD的外接圆的方程是：

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则当时，最大，最短此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即： 

 

【解析】本试题主要是考查了直线方程和圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的综合运用。

(1) 矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，得到圆心坐标和半径从而得到圆的方程。

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）借助于斜率的关系式得到结论。

解：（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即      由得                                      

矩形ABCD的外接圆的方程是：

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则当时，最大，最短此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即：