Question

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当f（x）=lg（x²+2）时，证明：f（x）是V形函数；
（3）当f（x）=lg（2^x+a）时，若f（x）为V形函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当f（x）=x²时，f（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂，f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²，
当x₁，x₂同号时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不满足V形函数的定义，
故当f（x）=x²时，f（x）不是V形函数；
（2）当f（x）=lg（x²+2）时f（x₁+x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]=lg（x₁²+x₂²+2x₁x₂+2），
f（x₁）+f（x₂）=lg（x₁²+2）+lg（x₂²+2）=lg[2（x₁²+x₂²）+x₁²x₂²+4]
∴满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则f（x）=lg（x²+2）为“V形函数”．
（3）当f（x）=lg（2^x+a）时，若f（x）为V形函数
则f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
即lg（2^x₁+x₂+a）≤lg（2^x₁+a）+lg（2^x₂+a）=lg[2^x₁+x₂+a（2^x₁+x₂）+a²]
∴a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0对任意x₁，x₂∈R恒成立
当a=0时，成立，当a＜0时不成立，当a＞0时，a≥（1-2^x₁+x₂）_max
∴a≥1或a=0
分析：（1）当x₁，x₂同号时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），不满足V形函数的定义，可判定；
（2）利用对数的运算性质进行化简整理，然后根据V形函数的定义判定即可；
（3）根据V形函数的定义建立不等关系，转化成a（2^x₁+x₂）+a²-a≥0对任意x₁，x₂∈R恒成立，然后讨论a的符号，解之即可．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及对数运算等基础知识，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．