Question

在△ABC中，若S_△ABC=c²-（a-b）²，且a+b=1，
（1）求cosC；
（2）求S_△ABC的最大值．

Answer 1

解：由面积公式S_△ABC=absinC代入条件S_△ABC=c²-（a-b）²，得
absinC=c²-（a-b）²，
余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
absinC=c²-（a-b）²，化为 absinC=2ab（1-cosC）
∴=，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由cos²C+sin²C=（1-k）²+（4k）²=1，得k=，
∴sinC=4k=．
∴cosC=1-k=．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴S=absinC=ab≤•=，当且仅当a=b=时，S_max=．
所以三角形面积的最大值为：．
分析：（1）利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后求出cosC的值；
（2）根据a+b=1，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．