Question

已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（1）＜f(lg

1

x

)，则x的取值范围为

(0，

1

10

)∪(10，+∞)

．

Answer 1

分析：分两种情况讨论：当lg

1

x

＞0时，结合f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，直接由f（1）＜f（lg

1

x

）得1＜lg

1

x

；当lg

1

x

＜0时，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，由f（1）＜f（lg

1

x

）得到f（1）＜f（-lg

1

x

），所以1＜-lg

1

x

．分别解所得的不等式，可得实数x的取值范围．

解答：解：①当lg

1

x

＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数
所以f（1）＜f（lg

1

x

）等价于1＜lg

1

x

，解之得0＜x＜

1

10

；
②当lg

1

x

＜0时，-lg

1

x

＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得f（1）＜f（lg

1

x

）等价于f（1）＜f（-lg

1

x

），
再由函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，得到1＜-lg

1

x

，即lg

1

x

＜-1，
解之得x＞10．
综上所述，得x的取值范围是(0，

1

10

)∪(10，+∞)．
故答案为：(0，

1

10

)∪(10，+∞)．

点评：本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，求解关于x的不等式，着重考查了函数的奇偶性与单调性等知识点，属于基础题．