Question

设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，抛物线上的点P（k，-2）与点F的距离为4，则抛物线方程为

x²=-8y

．

Answer 1

分析：根据抛物线顶点在原点、焦点F在y轴上，且经过点P（k，-2），设其方程为x²=-2py（p＞0）．结合题意建立关于k、p的方程组，解之可得k、p的值，从而得该到抛物线方程．

解答：解：∵抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，点P（k，-2）在抛物线上
∴抛物线开口向下，设方程为x²=-2py（p＞0）
可得抛物线的焦点F（0，-

p

2

），
∵抛物线上的点P（k，-2）与点F的距离为4，
∴得方程组

k2=-2p•(-2) (0-k)2+(- p 2 +2)2 =4

，解之得p=k=4，
因此抛物线方程为x²=-8y
故答案为：x²=-8y

点评：本题给出抛物线上一点到焦点的距离，求抛物线的方程，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．