Question

在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为

3

8

a2，则异面直线AC与BD所成的角为（　　）

• A、30°
• B、60°
• C、120°
• D、60°或120°

Answer 1

分析：根据三角形中位线定理，结合题意证出四边形EFGH为菱形，∠FEH（或其补角）就是异面直线AC与BD所成的角．设AC与BD所成的角为α，利用平行四边形的面积公式，建立关于α的等式，解之即可得出AC与BD所成的角．

解答：解：连结EH，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD且EH=BD．
同理可得FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，可得四边形EFGH为平行四边形．
∵AC=BD=a，
∴EF=EH=

1

2

a，四边形EFGH为菱形，
设AC与BD所成的角为α，可得∠FEH=α或π-α，
可得四边形EFGH的面积S=

1

2

a•

1

2

asinα=

3

8

a2，
解得sinα=

3

2

．
结合异面直线所成角为锐角或直角，可得α=60°，
即异面直线AC与BD所成的角为60°．
故选：B

点评：本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角的大小，着重考查了平行四边形的面积公式、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．