Question

随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大，如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR．
（1）设∠PAB=θ，试写出停车场PQCR的面积S与θ的函数关系式；
（2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出sinθcosθ的表达式，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．

解答：解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
∴EP=90cosθ，FP=90sinθ，
∴PR=100-90sinθ，PQ=100-90cosθ，
∴S_PQCR=f（θ）=PR•PQ=（100-90cosθ）（100-90sinθ）=8100sinθcosθ-900（sinθ+cosθ）+10000（0°≤θ≤90°）；
（2）令sinθ+cosθ=t（1≤t≤

2

），可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=

t2-1

2

∴S=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=

8100

2

×(t-

10

9

)2+950
∴t=

2

时，S_max=14050-9000

2

（m²），t=

10

9

时，S_min=950（m²）．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是自变量的选取，利用配方法求函数的最值．