Question

抛物线C：的焦点为F．
（1）已知抛物线C上点A的横坐标为1，求在点A处抛物线C的切线方程；
（2）斜率为1的直线l过点F，与抛物线C相交于M、N两点，求线段MN的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求点A的坐标，进而可求在点A处抛物线C的切线斜率，由此可得切线方程；
（2）求出过点F、斜率为1的直线l方程，与抛物线方程联立，求得交点坐标，进而可求线段MN的长．
解答：解：（1）当x=1时，，即．（1分）
∵，（3分）     
∴所求切线的斜率k=y'|_x=1=．（5分）
∴所求切线方程为，
即2x-4y-1=0．（6分）
（2）抛物线C：x²=4y，焦点F（0，1）（7分）
∵斜率为1的直线l过点F，
∴直线l的方程为y=x+1． （8分）
联立，
∴x²-4x-4=0
∴x=2±2
∴，或．（10分）
∴=8．
所以，线段MN的长为8． （12分）
点评：本题以抛物线方程为载体，考查切线方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立方程，求得交点坐标．