Question

5．任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若$\overrightarrow{EF}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{DC}$，则λ+μ=1．

Answer 1

分析 可画出图形，取AB中点G，并连接EG，FG，从而EG，FG为两条中位线，从而可得到$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GE}$，根据中位线的性质及向量加法的几何意义即可得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，从而根据平面向量基本定理即可得出λ+μ=1．

解答 解：如图，取AB边中点G，连接EG，FG，则：

∵E，F分别是AD，BC的中点；
∴$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）$$-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
又$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{DC}$；
∴$λ=\frac{1}{2}，μ=\frac{1}{2}$；
∴λ+μ=1．
故答案为：1．

点评 考查向量减法、加法和数乘的几何意义及其运算，三角形中位线的性质，以及平面向量基本定理．