Question

水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%．
（1）试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？
（2）为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

Answer 1

分析：（1）设设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题，即x年中退耕还林的累加量等于全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林的70%，由2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，我们不难构造方程，解方程即可得到结论．
（2）由（1）的结论，结合国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，我们易求出每一年国家财政支付资金，累加后，即可得到答案．

解答：解：（1）设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题．
依题意，得：
515+515×（1+12%）+515×（1+12%）²+…+515×（1+12%）^x-1=9100×70%
即：515×[1+（1+12%）+（1+12%）²+…+（1+12%）^x-1]=6370
即

1-1.12x-1×1.12

1-1.12

=

6370

515

?

1.12x-1

0.12

=

1274

103

整理得：1.12x≈2.4843?x≈log1.122.4843=

lg2.4843

lg1.12

≈

0.3592

0.0492

≈8.03
又x∈N，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题
（2）设到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付y亿元．
首批退耕地国家应支付：515×10⁴×（300×0.7+20）×8，
第二批退耕地国家应支付：515×10⁴×（1+12%）×（300×0.7+20）×7，
第三批退耕地国家应支付：515×10⁴×（1+12%）²×（300×0.7+20）×6，
…
最后一批退耕地国家应支付：515×10⁴×（1+12%）⁷×（300×0.7+20）×1，y=

515×104×(300×0.7+20)×(8+7×1.12+6×1.122++1×1.127)

108

令S=8+7×1.12+6×1.12²++1×1.12⁷①
1.12S=8×1.12+7×1.12²+6×1.12³++1×1.12⁸②
②-①得：0.12S=-8×（1.12+1.12²+1.12³++1.12⁷）+1×1.12⁸0.12S=-8+

1.12-1.128×1.12

1-1.12

=-8+

1.129-1.12

0.12

≈-8+

2.773-1.12

0.12

解得：S≈48.1，故：y≈（515×10⁴×230×48.1）÷10⁸≈569.7（亿元）
答：到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元．

点评：在不等式的实际应用中，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑，如本题中，得x≈8.03，考虑到n∈N^*，∴取x=8