Question

函数y=

x

x2+x+1

（x＞0）的值域是

(0，

1

3

]

．

Answer 1

分析：注意到自变量x是正数，所以将分式的分子和分母都除以x，得到其分母变成x+

1

x

+1的形式，接下来可以用基本不等式求分母的最小值，最后采用不等式的倒数法则进行等价变形，可以求得原函数的值域．

解答：解：∵x＞0
∴y=

x

x2+x+1

=

1

x+1+ 1 x

又∵x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2
∴

1

y

=x+

1

x

+1≥ 3，当且仅当x=1时等号成立
∴0＜y≤

1

3

，即函数的值域为(0，

1

3

]
故答案为：(0，

1

3

]

点评：本题考查了分式函数的值域、基本不等式等知识点，属于中档题．采用倒数的方法解题是解决本题的关键，解题的同时还要注意函数定义域问题．