Question

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由圆O过椭圆的焦点，知圆O：x²+y²=b²，由此能求出椭圆的离心率e；
      （ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，|OP|²=2b²≤a²，由此能求出椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，所以PA方程为：x₁x+y₁y=b²，PB方程为：x₂x+y₂y=b²．由此入手能得到为定值．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x²+y²=b²，
∴b=c，∴b²=a²-c²=c²，∴a²=2c²，
∴．（3分）
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，
∴|OP|²=2b²≤a²，∴a²≤2c²
∴，．（6分）
（Ⅱ）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
整理得xx+yy=x₁²+y₁²∵x₁²+y₁²=b²
∴PA方程为：x₁x+y₁y=b²，PB方程为：x₂x+y₂y=b²．
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，∴，
直线AB方程为，即xx+yy=b²．
令x=0，得，令y=0，得，
∴，
∴为定值，定值是．（12分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．