Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M、N分别是棱BB₁，DD₁的中点．
①求异面直线A₁M与B₁C所成的角的余弦值；
②若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，三棱锥N-A₁B₁C₁的体积为V₁，求的值．
③求平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成的二面角的大小．

Answer 1

解：①∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角）
，

=
=
所以异面直线A₁M与B₁C所成的角余弦值为
②V=2a³，
，

③取AA₁中点P，连接B₁P、NP、MP，则四边形B₁MPA₁为正方形．
∵A₁M⊥B₁P，且B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，
∴B₁C₁⊥A₁M，即A₁M⊥B₁C₁，
∴A₁M⊥平面B₁PNC₁
即A₁M⊥平面B₁NC₁，
∵A₁M?平面A₁MC₁，
所以，平面A₁MC₁⊥平面B₁NC．
故平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成二面角大小为90°．
分析：①先将B₁C平移到A₁D，根据异面直线所成角的定义可知∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角），然后利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
②先利用正棱柱的体积公式求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，然后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥N-A₁B₁C₁的体积，即可求出所求；
③取AA₁中点P，连接B₁P、NP、MP，则四边形B₁MPA₁为正方形，根据A₁M⊥B₁P，A₁M⊥B₁C₁，满足线面垂直的判定定理可知A₁M⊥平面B₁NC₁，而A₁M?平面A₁MC₁，满足面面垂直的判定定理可知平面A₁MC₁⊥平面B₁NC，从而求出平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成二面角大小．
点评：本题主要考查了异面直线所成角的度量，以及体积的求解和面面垂直的判定，同时考查了计算能力和推理能力，属于中档题．