Question

设a∈R，函数f（x）=
（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当x＜0时，，
因为，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数；
当x＞0时，，，由f′（x）＞0，解得，由f′（x）＜0，解得，
所以f（x）在上为增函数，在上为减函数．
综上，f（x）增区间为（-∞，0）和，减区间为．
（Ⅱ）当x＜0时，由f（x）＞x-1，得，即，
设，
所以（当且仅当x=-1时取等号），
所以当x=-1时，g（x）有最大值-3，
因为对任何x＜0，不等式恒成立，所以a＞-3；
当x＞0时，由f（x）＞x-1，得，即，
设，则，
所以当，即时，h（x）有最小值，
因为对任何x＞0，不等式恒成立，所以．
综上，实数a的取值范围为．
分析：（1）a=2时，当x＜0时，，当x＞0时，，可用导数判单调性；
（2）当x＜0时，f（x）＞x-1??，转化为求的最大值问题
当x＞0时，f（x）＞x-1?，即，转化为求的最小值，可用导数求解．
点评：本题考查分段函数的单调性判断、已知不等式恒成立求参数范围问题，综合性强，难度较大．