Question

20．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，曲线C₁的参数方程为${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标．

Answer 1

分析 （1）直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知可得曲线C的直角坐标方程，把${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$变形，利用平方关系消参可得曲线C₁的普通方程；
（2）设出点M的坐标，利用点到直线的距离公式及三角函数的辅助角公式化积得答案．

解答 解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y-10=0，
∴曲线C的普通方程是：x+2y-10=0．
由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²α=1，得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）曲线C的普通方程是：x+2y-10=0，
设点M（3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得：
$d=\frac{{|{3cosα+4sinα-10}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{5cos（α-φ）-10}|$，其中$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$，
∴α-φ=0时，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此时$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．