Question

给出下列五个结论其中正确的是（ ）
①若实数x，y满足（x-2）²+y²=3，则的最大值为；②椭圆与椭圆有相同的离心率；③双曲线的焦点坐标是（1，0），（-1，0）④圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是⑤设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是．
A．①②③
B．②③④
C．①②③⑤
D．①②④⑤

Answer 1

【答案】分析：根据圆锥曲线的性质逐一判断，①应用斜率的几何意义，把看成点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，即可通过求圆的切线斜率来计算；②椭圆的离心率e=，所以要判断两个椭圆的离心率是否相同，只需求出两个椭圆中的a，c的值；③要求双曲线的焦点坐标，必须求出c的值以及焦点所在坐标轴；④直线与圆若没有公共点，这直线与圆相离，圆心到直线的距离大于半径；⑤要求离心率的范围，只需用含参数a的式子表示离心率，再根据a的范围求出e的范围．
解答：解：①=，可看成点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，也即圆（x-2）²+y²=3上点与坐标原点连线的斜率．
∴的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设过原点的圆的切线方程为y=kx，即kx-y=0，
圆（x-2）²+y²=3的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离=，解得k=±，∴的最大值为，∴①正确．
②椭圆中a=2，c=1，∴离心率为，椭圆中a=，c=，∴离心率为，∴②正确．
③∵双曲线方程为，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴双曲线的焦点在y轴上，
且c²=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦点坐标为（0，±1），∴③错误．
④若圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即＞1，解得，-＜k＜，若-＜k＜，则圆心到直线的距离大于半径，∴圆与直线无公共点，∴圆x²+y²=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是，∴④正确．
⑤∵双曲线方程为，∴c²=a²+（a+1）²，
∴e²===++2=+1，∵a＞1，∴0＜＜1，
∴2＜e²＜5，∴＜e＜∴⑤正确．
故选D
点评：本题主要考查圆锥曲线的一些性质，因为是多选题，只需逐个判断即可．