Question

问题：自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力和捕捞强度对鱼群总量的影响，用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N₊,且x₁＞0,不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x²_n成正比，这些比例系数依次为正常数a,b,c.

    设a=2,c=1,为保证对任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N₊,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

Answer 1

导思：理顺清楚数量间的关系，用数学归纳法证明.

探究：从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cx²_n,因此，x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx²_n,n∈N₊.(*)

即x_n+1=x_n(a-b+1-cx_n),n∈N₊.(**)

若b的值使得x_n＞0,n∈N₊.

由x_n+1=x_n(3-b-x_n),n∈N₊.知0＜x_n＜3-b,n∈N₊.特别地，有0＜x₁＜3-b.即0＜b＜3-x₁.

而x₁∈(0,2)，所以b∈（0,1］.

    由此猜测b的最大允许值是1.

下证当x₁∈(0,2),b=1时，都有x_n∈(0,2),n∈N₊.

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0,2).

则当n=k+1时,x_k+1=x_k(2-x_k)＞0.

    又因为x_k+1=x_k(2-x_k)=-(x_k-1)²+1≤1＜2,

所以x_k+1∈(0,2).故当n=k+1时结论也成立.

    由①②可知，对于任意n∈N₊,都有x_n∈(0,2).

    综上所述，为保证对任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N₊,则捕捞强度b的最大允许值是1.