Question

将函数f（x）=e^x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

Answer 1

【答案】分析：利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．
解答：解：∵f（x）=e^x，
∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数e^x可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e^x在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是．
点评：本题考查基本初等函数的个数、考查幂级数及收敛区间的定义．