Question

有下列4个命题：
①函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的充要条件；
②若椭圆x²+my²=1的离心率为

3

2

，则它的长半轴长为1；
③对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有f（0）+f（2）≥2f（1）；
④经过点（1，1）的直线，必与

x2

4

+

y2

2

=1有2个不同的交点．
其中真命题的为

③④

将你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：令y=f（x）=x³，由f′（0）=0可判断①的正误；
当焦点在y时，可判断②错误；
对x分x＞1与x＜1讨论，利用导数判断函数的单调性，从而可判断③的正误；
由于点（1，1）在已知椭圆内，从而可判断④的正误．

解答：解：令y=f（x）=x³，f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在R上单调递增，无极值，
但f′（0）=0，
∴①错误；
∵椭圆x²+my²=1的离心率为

3

2

，
∴当焦点在x轴时，长半轴a=1，短半轴b=

1

2

；
当焦点在y轴时，短半轴b=1，长半轴a=2，
故②错误；
对于③，∵（x-1）f′（x）≥0，
∴当x＞1时，f′（x）≥0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（2）＞f（1）；
当x＜1时，f′（x）≤0，
同理可得f（0）＞f（1）；
∴f（0）+f（2）≥2f（1），即③正确；
对于④，∵

12

4

+

12

2

＜1，
∴点（1，1）在已知椭圆内，
∴经过点（1，1）的直线，必与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1有2个不同的交点，故④正确；
综上所述，真命题为③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆的性质及导数、函数的单调性的综合应用，考查分析推论与运算能力，属于中档题．