Question

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为

4

5

？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．
（文）已知坐标平面内的一组基向量为

e

1=(1，sinx)，

e

2=(0，cosx)，其中x∈[0，

π

2

)，且向量

a

=

1

2

e

1+

3

2

e

2．
（1）当

e

1和

e

2都为单位向量时，求|

a

|；
（2）若向量

a

和向量

b

=(1，2)共线，求向量

e

1和

e

2的夹角．

Answer 1

分析：（理科）（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量为

n

=(x，y，z)，再点A到平面EFQ的距离，求出x₀，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（文科）（1）由题意，得出

e

1=(1，0)，

e

2=(0，1)都为单位向量．从而求得|

a

|=1．
（2）由条件

a

=

1

2

e

1+

3

2

e

2=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)，因为向量

a

和向量

b

=(1，2)共线，根据共线向量的性质求得：x=

π

6

．最后利用向量

e

1和

e

2的夹角即可求得向量

e

1和

e

2的夹角．

解答：解：（理科）（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
则

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)．
设异面直线EG与BD所成角为θcosθ=

| EG • BD |

|EG| • |BD|

=

|-2+4|

6 • 8

=

3

6

，
所以异面直
线EG与BD所成角大小为arccos

3

6

．
（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n  • EF =0  n  • EQ =0

得到y=0，z=xx₀，取x=1，
所以

n

=(1，0，x0)，则

| EA •  n  |

|n|

=0.8，又x₀＞0，解得x0=

4

3

，
所以点Q(

4

3

，2，0)即

CQ

=(-

2

3

，0，0)，则

|CQ|

=

2

3

．
所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且长度为

2

3

．
（文科）解：（1）由题意，当x=0时，sinx=0，cosx=1，此时

e

1=(1，0)，

e

2=(0，1)都为单位向量．
故

a

=

1

2

e

1+

3

2

e

2=(

1

2

，

3

2

)，
所以|

a

|=1．
（2）由条件

a

=

1

2

e

1+

3

2

e

2=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)
因为向量

a

和向量

b

=(1，2)共线，
所以

.

1 2 1 2 sinx+ 3 2 cosx 1 2

.

=0?1-(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=1-sin(x+

π

3

)=0，
因为x∈[0，

π

2

)，
所以x=

π

6

．
于是

e

1=(1，

1

2

)，

e

2=(0，

3

2

)，
设向量

e

1和

e

2的夹角为θ
则cosθ=

e 1• e 2

| e 1|| e 2|

=

3 4

5 2 • 3 2

=

5

5

，
即向量

e

1和

e

2的夹角为arccos

5

5

．

点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题．