Question

四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．（用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立如图所示的直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出异面直线CD与AP所成的角．
（2）连结AC交BD于G，连结EG，由已知得PC∥EG，由此能证明PC∥平面EBD．
（3）求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-D的大小．

解答： （本小题满分12分）
（1）解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，
建立如图所示的直角坐标系B-xyz．
设BC=a，则A（0，3，0），P（0，0，3），
D（3，3，0），C（a，0，0），

CD

=(3-a，3，0)，

PD

=(3，3，-3)，
∵CD⊥PD，∴

CD

•

PD

=0，
即3（3-a）+9=0．∴a=6．…（2分）
∵

CD

=(-3，3，0)，

PA

=(0，3，-3)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

CD • PA

| CD |•| PA |

=

9

3 2 ×3 2

=

1

2

．
∴异面直线CD与AP所成的角为60°．…（4分）
（2）证明：连结AC交BD于G，连结EG．
∴

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

．…（5分）
∴PC∥EG…（6分）又EG?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD…（8分）
（3）解：设平面BED的法向量为

n1

=（x，y，z），

BE

=(0，2，1)，

BD

=(3，3，0)，
由

n1 • BE =0 n1 • BD =0

得

2y+1=0 3x+3y=0

所以，

x= 1 2 y=- 1 2 .

于是，

n1

=(

1

2

，-

1

2

，1)…（10分）
又因为平面ABE的法向量

n

=(1，0，0)，
所以，cos＜

n1

，

n2

＞=

1

6

=

6

6

．
所以，二面角A-BE-D的大小为arccos

6

6

．…（12分）

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，空间向量、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．