Question

设是定义在[－1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时，．

（1）求的解析式；

（2）若在上为增函数，求的取值范围；

（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∴

       （2）a＞(6x²)_max＝6．

       （3）证明见解析。

解析:

（1）当x∈[－1，0]时，2－x∈[2，3]，f(x)＝g(2－x)＝ －2ax＋4x³；当x∈时，f(x)＝f(－x)＝2ax－4x³，

       ∴………………………………………4分

       （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a－12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max＝6．………………………8分

       （3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)＝2ax－4x³在x∈的最大值．

       令＝2a－12x²＝0，得．…10分    若∈，即0＜a≤6，则

       ，

       故此时不存在符合题意的；

       若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

       令2a－4＝12，故a＝8．    综上，存在a ＝ 8满足题设．………………13分

评析：本题通过函数的知识来切入到导数，是在这两个重要知识的交汇处命题，意在考查学生的逻辑思维能力与推理能力，函数及导数的应用是数学的难点，也是考得最热的话题之一，也是本套试卷的把关题，对学生的要求较高．