Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

-＜m＜0
分析：将方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0转化为函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，换元设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，然后利用二次函数根的分布，确定实数m的取值范围．
解答：由题意知m≠0，设函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，为偶函数．
因为方程有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，所以方程一个根小于-2，对应的另一个根大于2，两外两个根一个在（-1，0）之间，一个在（0，1）之间．
设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，对应方程的两个根t大于4，两外一个根t∈（0，1）．
若m＞0，则，即，所以，此时不等式组无解．
若m＜0，则，即，所以，此时解得-＜m＜0．
故答案为：-＜m＜0．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用以及一元二次方程根的分布问题．利用换元法将四次函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，本题综合性