Question

已知函数．
（I）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求a＞2时，函数f（x）在区间（-1，1）上的极值．

Answer 1

解：（I）当a=1时，f（x）=x³-x²+，f′（x）=x²-2x…（2分）
∴k=f′（1）=1-2=-1，f（1）=-1+=0，
∴y-0=-（x-1）
即x+y-1=0为所求切线方程．…（4分）
（II），f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-），
令f'（x）=0得x=0或x=…（6分）
当a＞2时，0＜＜1，
令f'（x）＞0可得x＜0或x＞；令f'（x）＜0可得0＜x＜，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，）递减，在（，1）递增
∴f（x）的极大值为f（0）=，f（x）的极小值为f（）=-+ …（10分）
分析：（I）当a=1时，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，求得切点坐标，即可得到切线方程；
（II）当a＞2时，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极大值和极小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导，恰当计算是关键．