Question

一条曲线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁、A₁A₂、A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，CA₁A₂A₃为曲线的第1圈，然后又以A为圆心，AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得曲线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度S_n为（　　）

• A．

  n(n+1)π

  3

• B．2π（3n-1）
• C．n（n+1）π
• D．n（3n+1）π

Answer 1

分析：由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为

2π

3

，根据弧长公式得到这些弧长是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．

解答：解：根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为

2 3 π×π×1

π

，

2 3 π×π×2

π

，…，

2 3 π×π×3n

π

化简得：

2π

3

，2×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此数列是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，
则根据等差数列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=n（3n+1）π．
故选D．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，属于中档题．