Question

已知sin、cos是y的方程y²+py+q=0的两个实根，设函数f（x）=p²+2（-1）q-2cos²，试问
（1）求f（x）的最值；（2）求f（x）的单增区间．

Answer 1

解：（1）根与系数的关系 sin+cos=-p
sincos=q
p²=sin²+cos²+2sincos=1+2q
f（x）=p²+2（-1）q-2cos²
=1+2q+2（-1）q-2cos²
=1-2cos²+2q
1-2cos²=-cos 2q=2sincos=sin
f（x）=sin-cos=2sin（-）
f（x）的最大值 2，最小值-2
（2）因为y=sinx的增区间：2kπ-≤x≤2kπ+ k∈Z，
所以f（x）=2sin（）的单调增区间（-+4kπ，+4kπ）k∈Z．
分析：（1）利用韦达定理求出p，q代入f（x）=p²+2（-1）q-2cos²，求f（x）的表达式，然后求其最值；
（2）根据函数f（x）的表达式，利用正弦函数的增区间，求出函数f（x）单增区间．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．