Question

第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析可得，欲求，△AEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的周长求出另一边长AF，再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；
（2）对于（1）所列不等式，可利用导数研究它的单调性求它的最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）设AF=y，则x+y+

x2+y2

=l，
整理，得y=

l2-2lx

2(l-x)

．…（3分）
S=

1

2

xy=

x(l2-2lx)

4(l-x)

，x∈（0，b]．  …（4分）
（2）S′=

l

4

•

2x2-4lx+l2

(x-l)2

=

2l

4(x-l)2

(x-

2- 2

2

l)•(x-

2+ 2

2

l)，x∈(0，b]
∴当b≤

2- 2

2

l时，S′＞0，S在（0，b]递增，
故当x=b时，Smax=

bl(2b-l)

4(b-l)

；
当b＞

2- 2

2

l时，在x∈(0，

2- 2

2

l)上，S′＞0，S递增，在x∈(

2- 2

2

l，b)上，S′＜0，S递减，
故当x=

2- 2

2

l时，Smax=

3-2 2

4

l2．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数解析式的求解及常用方法及导数的应用等基础知识，属于基础题．