Question

19．已知正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点．
（1）求证：AB∥平面DFG；
（2）求证：FG⊥平面BDE；
（3）求该多面体体积．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BGDA是平行四边形，从而AB∥DG，由此能证明AB∥平面DFG．
（2）推导出FG⊥BE，FG⊥DE，由此能证明FG⊥平面BDE．
（3）该多面体体积V=V_D-BCEF+V_B-ADF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点，
∴BG$\underset{∥}{=}$AD，∴四边形BGDA是平行四边形，∴AB∥DG，
∵AB?平面DFG，DG?平面DFG，
∴AB∥平面DFG．
（2）∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点，
∴BF=FG=BG=EF=2，∴∠BFE=120°，∠BFE=60°，
∴∠FBE=∠FEB=30°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∴FG⊥BE，
∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
∴FG⊥DE，
∵BE∩DE=E，∴FG⊥平面BDE．
解：（3）∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点，
∴S_梯形BCEF=$\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{4-1}$=3$\sqrt{3}$，DE=2，
S_△ADF=$\frac{1}{2}×2×2$=2，B平面ADF的距离d=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴该多面体体积：
V=V_D-BCEF+V_B-ADF=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BCEF}×DE+\frac{1}{3}×{S}_{△ADF}×d$
=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．