Question

5．如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了a_n个单位，此时质点的位置为（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n，C_n的表达式；并求数列$\{\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}\}$的前n项和S_n．
（Ⅱ）当n为何值时，tan∠AC_nB取得最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意{a_n}是等差数列，从而可得a_n=2n-1，C_n=$\frac{1+2n-1}{2}$•n=n²；化简$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，从而利用裂项求和法求得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$tan∠A{C_n}O=\frac{27}{n^2}，tan∠B{C_n}O=\frac{3}{n^2}$，从而可得$tan∠A{C_n}B=tan（∠A{C_n}O-∠B{C_n}O）=\frac{24}{{{n^2}+\frac{81}{n^2}}}≤\frac{4}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，
a_n=2n-1，
C_n=$\frac{1+2n-1}{2}$•n=n²；
∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
$tan∠A{C_n}O=\frac{27}{n^2}，tan∠B{C_n}O=\frac{3}{n^2}$，
$tan∠A{C_n}B=tan（∠A{C_n}O-∠B{C_n}O）=\frac{24}{{{n^2}+\frac{81}{n^2}}}≤\frac{4}{3}$；
（当且仅当n=3时取等号）；
即当n=3时，tan∠AC_nB取得最大为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了等差数列的判断与应用，同时考查了裂项求和法的应用及两角差的正切公式的应用．