Question

P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁，l₂分别是C在点P、点Q处的切线，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求证：点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）求△PQM面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而得出切线的方程，结合l₁⊥l₂得点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）令x₁+x₂=k，由（1）知点M坐标，直线PQ方程，利用点到直线距离S_△PQM的面积，最后利用基本不等式求出面积的最小值即可．
解答：解：（1）设P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），
又y'=2x
则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①l₂方程为y=2x₂x-x₂²②
由①②解得（3分）
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即
所以，（5分）
PQ方程为y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
即
由此得直线PQ一定经过点（8分）
（2）令x₁+x₂=k，
则由（1）知点M坐标
直线PQ方程为（10分）
∴点M到直线PQ距离=．（12分）
∴，
当k=0时“=”成立，
∴S_△PQM最小值为．（15分）
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．