Question

△ABC中，m=（sinA，cosC），n=（cosB，sinA），m·n=sinB+sinC，
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围。

Answer 1

解：（1）证明：∵m=（sinA，cosC），n=（cosB，sinA），m·n=sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，
由余弦定理得，
整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0，
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，
故△ABC为直角三角形。
（2）设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，
∵△ABC外接圆半径为1，A=，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2·sin（B+），
，
∴，
∴2＜b+c≤2，
∴4＜a+b+c≤2+2，
故△ABC周长的取值范围为（4，2+2]。