Question

已知椭圆E的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左顶点为（-2，0），离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点，若椭圆上存在一点P，使

OP

=λ（

OA

+

OB

），试求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆左顶点为（-2，0），离心率e=

1

2

，结合b=

a2-c2

，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合

OP

=λ（

OA

+

OB

），求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．

解答：解：（1）由已知得a=2，e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，b=

a2-c2

=

3

，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．
代入椭圆方程并整理得7x²-8x-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

，
∴y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=（x₁+x₂）-2=-

6

7

．
∴

OP

=λ（

OA

+

OB

）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（

8

7

，-

6

7

），
∴P点坐标为（

8λ

7

，-

6λ

7

），
代入椭圆方程，可得

( 8λ 7 )2

4

+

(- 6λ 7 )2

3

=1，
∴λ2=

7

4

，解得λ=±

7

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．