Question

已知圆(x+2)2+y2=

25

4

的圆心为M，圆（x-2）²+y²=

1

4

的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点N的直线l与（1）中所求轨迹有两交点A、B，求

AM

•

BM

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个圆相外切的充要条件列出两个几何条件，令两个式子相减；再利用双曲线的定义判断出动圆圆心P的轨迹是双曲线，写出双曲线的方程．
（2）分直线的斜率存在于不存在，设出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理列出关于k的不等式，求出k的范围，利用向量的数量积公式将

AM

•

BM

用k表示，求出k的范围．

解答：解：（1）设动圆P的半径为r，
则|PM|=r+

5

2

，|PN|=r+

1

2

，
相减得|PM|-|PN|=2
由双曲线定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
其双曲线方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)
（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则

y=k(x-2) 3x2-y2=3

?(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

△＞0 x1+x2＞0?k2＞3 x1x2＞0

，

AM

=(-2-x1，-y1)，

BM

=(-2-x2，-y2)，

AM

•

BM

=(-2-x1)(-2-x2)+y1y2=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=

7k2-9

k2-3

=7+

12

k2-3

＞7
当直线的斜率不存在时，x₁=x₂=2?y₁=3，y₂=-3
所以，

AM

=(-4，-3)，

BM

=(-4，3)?

AM

•

BM

=7，
综合得

AM

•

BM

≥7

点评：求动点的轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、相关点法、消参法、交轨法等；解决直线与圆相交的问题常利用几何法特别时，将直线与圆的方程联立，利用韦达定理解．