Question

已知平面向量=(–1), =().

（1）证明⊥;

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t²–3) ，=–k+t，且⊥，试求函数关系式k=f(t);

（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.

Answer 1

（1）证明略，（2）k=t(t²–3),（3）当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；

当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解.

解析:

(1)证明： ∵·==0，∴⊥

(2)解： ∵⊥,∴·=

即［+（t²–3) ］·(–k+t)=0，整理后得

–k²+［t–k(t²–3)］·+t(t²–3)·²=0

∵·=0, ²=4, ²=1

∴上式化为–4k+t(t²–3)=0，∴k=t(t²–3).

(3)解： 讨论方程t(t²–3)–k=0的解的情况，

可以看作曲线f(t)=t(t²–3)与直线y=k的交点个数

于是f′(t)=(t²–1)=(t+1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t₁=–1,t₂=1  当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表 

t	(–∞,–1)	–1	(–1,1)	1	(1,+∞)
f′(t)	+	0	–	0	+
f(t)	↗	极大值	↘	极小值	↗

当t=–1时，f(t)有极大值，f(t)_极大值=；

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)_极小值=–. 

而f(t)=(t²–3)t=0时，得t=–,0,. 

所以f(t)的图象大致如右:  

于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；