Question

抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

【答案】分析：由已知得F（1，0），点A在x轴上方，设A（x₁，y₁），y₁＞0，由|FA|=2得A（1，2），同理B（4，-4），所以直线AB的方程为2x+y-4=0．设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2，由点到直线距离公式能求出△PAB的面积最大值和此时P点坐标．
解答：解：由已知得F（1，0），点A在x轴上方，
设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2，
得x₁+1=2，x₁=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），
且0≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d===，
所以当y=-1时，d取最大值，
又|AB|=3，
所以△PAB的面积最大值为．
此时P点坐标为（，-1）．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．