Question

某城市计划在如图所示的空地ABCD上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，宣传该城市未来十年计划、目标等相关政策．已知四边形ABCD是边长为30m的正方形，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m，3m，且MN～NE=16～9，线段MN必过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN=xm，液晶广告屏幕MNEF的面积为Sm²．
（1）求S关于x的函数关系式及其定义域；
（2）若液晶屏每平米造价为1500元，当x为何值时，液晶广告屏幕MNEF的造价最低？

Answer 1

分析：（1）先确定AM、MN的长，进而可得S关于x的函数关系式及其定义域；
（2）要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小，利用导数的方法，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，在△AMN中，

9

x

=

MP

MN

，

3

AM

=

NP

MN

∴

9

x

+

3

AM

=1，∴AM=

3x

x-9

∴MN=

AM2+AN2

=

x2+ 9x2 (x-9)2

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30
∴S=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]，其定义域为[10，30]；
（2）由题意，要使液晶广告屏幕MNEF的造价最低，即使液晶广告屏幕MNEF的面积S最小
设f(x)=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]（x∈[10，30]），则f′(x)=

9

16

×

2x[(x-9)3-81]

(x-9)3

令f′（x）=0，的x=9+3

3	3

因为10≤x＜9+3

3	3

时，f'（x）＜0；9+3

3	3

＜x≤30时，f'（x）＞0，
所以x=9+3

3	3

时，S取得最小值，即液晶广告屏幕MNEF的造价最低．
故当x=9+3

3	3

时，液晶广告屏幕的造价最低．

点评：本题考查四边形面积的计算，考查导数知识，考查学生的计算能力，属于中档题．