Question

如图所示，圆柱底面的直径AB长度为2，O为底面圆心，正三角形ABP的一个顶点P在上底面的圆周上，PC为圆柱的母线，CO的延长线交⊙O于点E，BP的中点为F．
（1）求证：平面ABP⊥平面ACF；
（2）求二面角F-CE-B的正切值．

Answer 1

（1）证明：正三角形ABP中，F为BP的中点，∴AF⊥PB …（1分）
∵PC为圆柱的母线，∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC …（2分）
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC …（3分）
∵PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC，…（4分）
∵PB?平面PBC，∴AC⊥=B …（5分）
∵AC∩AF=A，∴PB⊥平面ACF，…（6分）
∵PB?平面ABP，∴平面ABP⊥平面ACF；…（7分）
（2）解：由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，
∵PA=PB=AB=2，∴Rt△PAC≌Rt△PBC，
∴AC=BC=PC=2…（8分）
以C为原点，CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），F（0，1，1），O（1，1，0），P（0，0，2）…（9分）
∵PC⊥平面ABC，∴为平面CEB的一个法向量…（10分）
设平面CEF的一个法向量，∵
∴，令y=-1，则 …（11分）
设二面角F-CE-B的平面角为θ，
∴cosθ==…（12分）
∴sinθ=，…（13分）
∴二面角F-CE-B的正切值tanθ== …（14分）
分析：（1）先证明AC⊥平面PBC，再证明PB⊥平面ACF，即可证明平面ABP⊥平面ACF；
（2）以C为原点，CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出为平面CEB的一个法向量，平面CEF的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得二面角F-CE-B的正切值．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用空间向量求出平面的法向量，属于中档题．