Question

已知函数f（x）=cos²x-2asinx（0≤x≤π），求f（x）的最值．

Answer 1

解：f（x）=cos²x-2asinx=-sin²x-2asinx+1
令t=sinx，因为0≤x≤π，所以0≤t≤1且y=-t²-2at+1=-（t+a）²+2，其对称轴为t=-a，
故-a≤0时，即a≥0时，y=-t²-2at+1在[0，1]上是减函数，最大值为1；最小值为：-2a，
当0＜-a＜时，即时，当t=-a，y有最大值1+a²，最小值为：-2a；
当时，即时，当t=-a时y有最大值1+a²，最小值为：1；
当-a≥1时，即a≤-1时，y=-t²-2at+1在[0，1]上是增函数，最小值为1；最大值-2a．
分析：因为cos²x=1-sin²x，用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题，按照对称轴在区间的左面、在区间内和在区间的右面三种情况讨论．
点评：本题考查三角函数的最值问题，二次函数在特定区间上的最值问题，分类讨论思想和换元转换思想．