Question

如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.

（1）求证：平面平面；
（2）求证： ∥平面；
（3）求多面体的体积.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

试题分析：（1）利用矩形所在的平面和平面互相垂直，且
得到平面，；
应用余弦定理知，得到；
由⊥平面，得到平面平面；
（2）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化；                          8分
（3）将多面体的体积分成三棱锥与
四棱锥的体积之和，分别加以计算.
试题解析：（1）矩形所在的平面和平面互相垂直，且
∴平面，
又平面，所以                      1分
又，，，由余弦定理知，
∴得                                  2分
∴⊥平面，                                 3分
平面；∴平面平面；                     4分
（2）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，
∴∥，又∵平面，∴∥平面         5分
连结，则∥，平面，∥平面        6分
∴平面∥平面，                           7分
平面
                                                8分
（3）多面体的体积可分成三棱锥与
四棱锥的体积之和                                     9分
在等腰梯形中，计算得，两底间的距离
所以                  10分
                   11分
所以                                 12分