Question

【题目】已知数列中，.

（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；

（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.

Answer 1

【答案】(1) 存在实数，使数列是等比数列，过程见解析.

(2) 满足的所有正整数为1和2.

【解析】试题分析：（1）设bn=a2n﹣λ，依题意，可得若数列{a2n﹣λ}是等比数列，则必须（常数）；（2）由（1）得{bn}是以﹣为首项，为公比的等比数列，于是a2n﹣1+a2n=，利用分组求和的方法，分别用等比数列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得S2n，分n=1与2讨论，计算即可得到答案．

详解：

（1）设，因为

若数列是等比数列，则必须有（常数），

即，即 ，

此时

所以存在实数，使数列是等比数列.

（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列

故 ，即

由，得，

所以，

显然当时，单调递减，

又当时，，当时，，所以当时，；

，

同理，当且仅当时，

综上，满足的所有正整数为1和2.