Question

14．$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a^2}-1）{e^{ax}}，x＜0\end{array}\right.$对定义域内的任意实数x都有$\lim_{△x→0}\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}＞0$（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是$（1，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根据导数定义得出函数在定义域上单调递增，再由分段函数单调的条件列式计算．

解答 解：根据导数定义，f'（x）=$\lim_{△x→0}\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}＞0$，
所以，f（x）在定义域为单调递增，则f（x）在各分段都为增函数，
①当x≥0时，f（x）=ax²+1，要使函数递增，则a＞0，
②当x＜0时，f（x）=（a²-1）e^ax，要使函数递增，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a^2-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a^2-1＜0}\end{array}\right.$（舍），
综合①②得，a＞1，
又$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）≥$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x），即1≥a²-1，解得a≤$\sqrt{2}$，
所以，实数a的取值范围为（1，$\sqrt{2}$]，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了导数的定义，以及运用导数与单调性间的关系，分段函数单调性的求解，属于中档题．