Question

已知空间直角坐标系O-xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．
（1）求点P的坐标满足的条件；
（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．

Answer 1

解：（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，
由勾股定理可得：|OA|²+|AP|²=|OP|²，
即3+（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²=x²+y²+z²，化简得：x+y+z=3．
（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，
则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．
所以|MN|=|NH|=|MH|=3，
所以等边三角形MNH的面积为：=．
又|OA|=，故三棱锥0-MNH的体积为：=．
分析：（1）通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；
（2）求出平面α与坐标轴的交点坐标，即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积．
点评：本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．