6已知数列{an}.{bn}满足bn=,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6已知数列{a_n}、{b_n}满足b_n=,求证：数列{a_n}成等差数列的充要条件是数列{b_n}也是等差数列。

证明略

解析:

①必要性：

设{a_n}成等差数列，公差为d,∵{a_n}成等差数列

从而b_n₊₁－b_n=a₁+n·d－a₁－(n－1) d=d为常数。

故{b_n}是等差数列，公差为d。

②充分性:

设{b_n}是等差数列，公差为d′,则b_n=(n－1)d′

∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n①

b_n_－₁(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n②

①－②得：na_n=b_n_－₁?

从而得a_n₊₁－a_n=d′为常数，故{a_n}是等差数列。

综上所述，数列{a_n}成等差数列的充要条件是数列{b_n}也是等差数列。

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②③④

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A．1

B．4

C．5

D．6

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