Question

已知椭圆与双曲线

4y2

3

-4x2=1有公共的焦点，且椭圆过点P（

3

2

，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点M（-1，1）交椭圆于A、B两点，且

AB

=

2MB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由题设知椭圆焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1），c=1，再由椭圆过点P(

3

2

，1)，能求出a²=4，b²=3，从而能够得到椭圆方程．
（2）若直线l的斜率k不存在，即l⊥x轴，由椭圆的对称性知，则不满足

AB

=2

MB

．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=-=k（x+1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则3y₁²+4x₁²=12①3y₂²+4x₂²=12，再由中点坐标公式结合题设条件可求出直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
∵双曲线

4y2

3

-4x2=1的焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1）
∴椭圆焦点坐标分别为（0，1）和（0，-1）（2分）
∴c=1，即a²-b²=1①（3分）
又椭圆过点P(

3

2

，1)，∴

1

a2

+

9

4b2

=1②（4分）
由①②得a²=4，b²=3，（6分）
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1．（7分）
（2）若直线l的斜率k不存在，即l⊥x轴，

由椭圆的对称性知，则不满足

AB

=2

MB

．（1分）
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=-=k（x+1）．（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则3y₁²+4x₁²=12①3y₂²+4x₂²=12②（3分）
由

AB

=2

MB

知M为AB的中点
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2（4分）
①-②得3（y₁+y₂）（y₁-y₂）+4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

4

3

，（5分）
∴直线l的方程为：y-1=

4

3

(x+1)，即4x-3y+7=0．（7分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合知识，解题时要认真审题，挖掘题设中的隐含条件，注意公式的灵活运用．