Question

如图所示，流程图给出了无穷整数数列{a_n}满足的条件，a₁∈N₊，且当k=5时，输出的S=；当k=10时，输出的S=．
（1）试求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在最小的正数M使得T_n≤M对一切正整数n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，从而可得两式相减得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18又∵a₁d=a₆所以可求数列通项；
（2）由题意可得，进一步有当n≥5时，T_n+1-T_n＜0；当n≤4时，T_n+1-T_n＞0，从而当n=5时，T_n有最大值，进而将问题转化为利用最值解决恒成立问题．
解答：解：（1）由题设知
又∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
∴即
两式相减得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18
又∵a₁d=a₁（a₁+5d）=a₁²-90，∴a₁²=81，
∴a₁=9，a₁=-9舍，∴d=-2，∴a_n=11-2n
（2）．①
①式两边同乘得．②
②-①得．
∴=
∴
又∵．
当n≥5时，∵T_n+1-T_n＜0；当n≤4时，
∵T_n+1-T_n＞0∴当n=5时，T_n有最大值．
∵T_n≤M恒成立，∴，
∴M的最小值为．
点评：本题考查数列、算法与函数的综合问题，本题解题的关键利用错位相减法求数列的和，再用函数的思想来解题，本题是一个综合题目，难度可以作为高考卷的压轴题．