Question

一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x₁，x₂，记ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知掷出点数x可能是：1，2，3，4．得到要用的代数式的值，得到ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．理解变量取不同值时对应的事件，做出概率．
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8，理解变量取不同值时对应的事件，做出概率，写出变量的分布列，求出期望，本题变量取值较多，解题时要注意运算，避免出错．

解答：解：（1）掷出点数x可能是：1，2，3，4．
则x-3分别得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）²的所有取值分别为：0，1，4．
因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当x₁=1且x₂=1时，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
此时，P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

；
当x₁=3且x₂=3时，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0．
此时，P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

．
P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；

（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8．
当ξ=1时，（x₁，x₂）的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即P(ξ=1)=

4

16

；
当ξ=2时，（x₁，x₂）的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即P(ξ=2)=

4

16

；
当ξ=4时，（x₁，x₂）的所有取值为（1，3）、（3，1）．
即P(ξ=4)=

2

16

；
当ξ=5时，（x₁，x₂）的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即P(ξ=5)=

4

16

．
P(ξ=8)=

1

16

∴ξ的分布列为：

所以Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3

点评：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与统计有关的实例．