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    已知数学公式，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．
    （1）求g（a）的解析表达式；
    （2）若对一切数学公式都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．

    解：（1）x∈[1，3]
    由知，．从而
    ∴当即时，M（a）=f（3）=9a-5
    当即时，M（a）=f（1）=a-1
    ∴
    （2）当时，为减函数．
    ∴．
    要使kg（a）-1＜0恒成立，则恒成立．而
    ∴．
    又当时，为增函数
    ∴
    要使kg（a）-1＜0恒成立．则恒成立．而
    ∴
    综上得，．
    分析：（1）将f（x）=ax2-2x+1配方化为，由可求，求得N（a）；根据f（x）的对称轴在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；
    （2）对，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．
    点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．
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    已知：函数f（x）=a•lnx+bx2+x在点（f，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）设函数y=
    1
    2
    f(x)+
    x(x-1)
    2
    的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值；
    （3）在（2）中，问是否存在正整数N，使得当n∈N+且n＞N时，不等式p(-1)+p(-
    1
    2
    )+p(-
    1
    3
    ) +p(-
    1
    n
    ) ＜n-2011    恒成立？若存在，请找出一个满足条件的N的值，并给以说明；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年安徽省凤阳艺荣高考辅导学校高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数若f（x）＞3，则x的取值范围是（ ）
    A．x＞8
    B．x＜0或x＞8
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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省保定市高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知：函数f（x）=a•lnx+bx2+x在点（f，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）设函数的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值；
    （3）在（2）中，问是否存在正整数N，使得当n∈N+且n＞N时，不等式恒成立？若存在，请找出一个满足条件的N的值，并给以说明；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年重庆一中高三（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：填空题

    已知，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．
    （1）求g（a）的解析表达式；
    （2）若对一切都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2013年山东省高考数学预测试卷（05）（解析版） 题型：选择题

    已知函数若f（x）＞3，则x的取值范围是（ ）
    A．x＞8
    B．x＜0或x＞8
    C．0＜x＜8
    D．x＜0或0＜x＜8

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