Question

已知定点A（1，0）和定圆B：x²+y²+2x-15=0，动圆P和定圆B相切并过A点，
（1）求动圆P的圆心P的轨迹C的方程．
（2）设Q是轨迹C上任意一点，求∠AQB的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据动圆P和定圆B相切并过A点，可知|PA|+|PB|=4＞2，所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，故可求点P的轨迹方程；
（2）设|QA|=m，|QB|=n，则m+n=4，则cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

，当且仅当m=n时取“=”，根据∠AQB∈（0，π），可求∠AQB的最大值．

解答：解：（1）定圆B的圆心坐标为（-1，0）
设P（x，y），则
∵动圆P和定圆B相切并过A点
∴|PA|+|PB|=4＞2，
∴所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆
所以点P的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设|QA|=m，|QB|=n，则m+n=4
∴cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

当且仅当m=n时取“=”，
∵∠AQB∈（0，π），
∴∠AQB的最大值是

π

3

点评：本题考查的重点是点的轨迹方程，考查余弦定理与基本不等式的运用，解题的关键是正确运用椭圆的定义，灵活解题．